October 6, 2022
Zahlen, bitte! 13, Archimedes und die Fußbälle

Die Fußball-EM in England ist gerade zu Ende – mit glücklichem Ausgang für die Gastgeberinnen. Und im DFB-Pokal gibts auch die ersten Überraschungen – oder Blamagen, je nach Gesichtspunkt. Wenn’s dann am Freitag mit der Bundesliga wieder losgeht, dürfen alle die Daumen drücken, dass der SC Freiburg endlich mal die Meisterschaft gewinnt.

Nun gut, das mag mancher als Provokation empfinden; oder wenigstens als schelmischen Gruß an die Hertha-Fans tolerieren. Wie auch immer: Ob Sie enttäuscht Niederlagen betrauern, auf künftige Siege hoffen – oder ob Sie sich gar überhaupt nicht für das Spiel Fußball interessieren, lassen Sie sich von uns in die Welt der platonischen Fußbälle entführen. Fußball-EM, DFB-Pokal, Bundesliga sind uns Anlass, ein nahezu zeitlos gültiges “Zahlen, bitte!” über die Mathematik der Fußbälle als Classic-Version aus den Tiefen des Archivs zu holen. Mit dem zusätzlichen Vorteil, dass es dieses “Zahlen, bitte!” nun auch als Podcast gibt.

Ist Ihnen bewusst, dass Sie in Ihrem Leben schon unzählige Male mit platonischen Körpern in Berührung gekommen sind? Mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit haben Sie auch schon archimedische Körper durch die Gegend gekickt, wie es inzwischen auch schwitzende Robotern tun. Dafür muss man sich nicht einmal mit den antiken Griechen beschäftigt haben …



In dieser Rubrik stellen wir immer dienstags verblüffende, beeindruckende, informative und witzige Zahlen aus den Bereichen IT, Wissenschaft, Kunst, Wirtschaft, Politik und natürlich der Mathematik vor.

Die platonischen Körper, benannt nach dem griechischen (Natur-)Philosophen, kennen mindestens Mathematiker … und Rollenspieler: Es handelt sich um konvexe Polyeder, also Vielflächner, die wiederum aus kongruenten, regelmäßigen Vielecken bestehen. Derer gibt es fünf: Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder.

Einen Platonischen Körper kennt jeder: den sechsseitigen Würfel. Fantasy-Rollenspieler kennen sogar alle fünf.

Indessen mögen sich vor allem die Rollenspieler fragen, warum das Dekaeder (der “Zehnseiter”) nicht dazu gehört. Das liegt an einer weiteren Bedingung für platonische Körper: Alle Ecken müssen gleichartig sein, also immer gleich viele Polygone zusammentreffen (reguläre Polyeder). Das ist beim Zehnseiter nicht der Fall.

Platonische Körper haben eine weitere merkwürdige Eigenschaft: Sie sind dual zueinander. Verbindet man die Mittelpunkte aller Flächen miteinander, erzeugt man wieder einen (anderen) platonischen Körper: Das Tetraeder erzeugt dabei wieder einen Tetraeder (Selbstdualität), während Hexaeder und Oktaeder sowie Dodekaeder und Ikosaeder duale Pärchen bilden.

Die antiken Griechen hielten diese höchstsymmetrischen Körper sogar für die Grundelemente des Universums (Atomismus): Das Tetraeder stand für Feuer, das Hexaeder für Erde, das Oktaeder für Luft, das Ikosaeder für Wasser und das Dodekaeder für das Universum selbst.

Der später für seine Gesetze der Planetenbewegung (Keplersche Gesetze) berühmte Astronom Johannes Kepler war im 16. Jahrhundert der Meinung, dass die Bahnen der Himmelskörper im Zusammenhang mit den platonischen Körpern stehen und entwickelte daraus ein Modell für das Sonnensystem, das aus ineinandergeschachtelten Polyedern bestand.

Johannes Keplers Sonnensystem setzte sich aus ineinandergeschachtelten platonischen Körpern zusammen.

(Bild: aus Mysterium Cosmographicum (1600))

Tatsächlich spielen Symmetrien in der Physik eine fundamentale Rolle (Stichwort: Noether-Theorem: “Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eines physikalischen Systems gehört eine Erhaltungsgröße”) und auch die symmetrischen Strukturen der platonischen Körper finden sich an zahlreichen Stellen in der Natur wieder. Dennoch sind die platonischen Körper selbst weder die Grundelemente der Welt, noch beschreiben sie die Himmelsmechanik.

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